题面

FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点 自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。 农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。 奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号 并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。 为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。 你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

思路

这题是倍增Floyd的模板题，何为倍增Floyd呢，设一个矩阵$F$,$F[i][j]$为$i->j$走$x$条边的最短路，$x$即为矩阵乘法次数，我们考虑这样做的正确性，对于这个矩阵进行快速幂，加法取min变换即可。再考虑实际意义，$F*F=F’$，新的$F'[i][j]$是由$F[i][1-N]$与$F[1-N][j]$变化来的，也就是$F'[i][j]=min(F[i][k]+F[k][j],F'[i][j])$符合$Floyd$的形式。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int lsh[205],b[105][105],u[105],v[105],w[105],top=0,cnt,S,E,N,T;
inline void read(int &x)
{
	int f=1;x=0;char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	x*=f;
}
inline void mul(int a[105][105],int b[105][105],int c[105][105])
{
	int tmp[105][105];
	for (int i=1;i<=cnt;i++) for (int j=1;j<=cnt;j++) tmp[i][j]=1e9;
	for (int i=1;i<=cnt;i++)
	{
		for (int j=1;j<=cnt;j++)
		{
			for (int k=1;k<=cnt;k++)
			tmp[i][j]=min(tmp[i][j],a[i][k]+b[k][j]);
		}
	}
	for (int i=1;i<=cnt;i++) for (int j=1;j<=cnt;j++) c[i][j]=tmp[i][j];
}
inline void ksm(int base[105][105],int index)
{
	int res[105][105];
	for (int i=1;i<=cnt;i++)for (int j=1;j<=cnt;j++)res[i][j]=base[i][j];
	while (index)
	{
		if (index&1) mul(res,base,res);
		mul(base,base,base);
		index>>=1;
	}
	cout<<res[lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,S)-lsh][lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,E)-lsh]<<'\n';
}
int main()
{
	read(N),read(T),read(S),read(E);
	lsh[++top]=S,lsh[++top]=E;
	for (int i=1;i<=T;i++)
	{
		read(w[i]),read(u[i]),read(v[i]);
		lsh[++top]=u[i],lsh[++top]=v[i];
	}
	sort(lsh+1,lsh+top+1);
	cnt=unique(lsh+1,lsh+top+1)-lsh-1;
	for (int i=1;i<=cnt;i++) for (int j=1;j<=cnt;j++) b[i][j]=1e9;
	for (int i=1;i<=T;i++)
	{
		u[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,u[i])-lsh,v[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,v[i])-lsh;
		b[u[i]][v[i]]=b[v[i]][u[i]]=w[i];
	}
	ksm(b,N-1);
	return 0;
}